Los egipcios, entre todos los pueblos de la antigüedad, fueron los primeros en conocer, con notable exactitud, la duración del año solar, que calcularon (30 siglos a. C.) en 365 1/4 días. Los desbordamientos anuales del Nilo implicaban, después de cada inundación, la necesidad de una nueva mensura de las tierras destinadas al cultivo y los trabajos de sus agrimensores exigieron algunos conocimientos de geometría (geometría: medición de la tierra). Los egipcios podían calcular el área del rectángulo, del triángulo, del trapezoide, y hasta el volumen de algunos cuerpos como el tronco de pirámide de base cuadrada, y el cálculo de la superficie y volumen de un hemisferio. Al clásico problema de "cuadrar el círculo" (que equivale a llevar el cálculo del perímetro y de la superficie de un círculo al perímetro y superficie de un cuadrado) dieron una solución bastante exacta, atribuyendo al famoso p el valor de 3,16 que lo obtenían resolviendo (16/9)² (en lugar de 3,14), algo admirable para el momento en que fue calculado unos 20 siglos a.C. según figura registrado en el Papiro de Rhind, que es la principal fuente de información sobre los avances matemáticos y geométricos de la época. La geometría de los agrimensores egipcios no revela ningún esfuerzo de generalización o demostración, y sólo es un conjunto de reglas que luego serán enunciados de los teoremas que crearan y demostrarán los griegos. También surge del Papiro de Rhind (1700 aC) que los egipcios usaban un sistema de numeración de base 10 y operaban con números enteros, racionales y con irracionales pero las operaciones que realizaban eran muy elementales. Por ejemplo para realizar una multiplicación de dos números enteros, imaginaban al multiplicador como suma de una serie de potencias de 2, por consiguiente toda multiplicación puede ser sustituida por una serie de duplicaciones, seguida de adiciones, por lo tanto la multiplicación no era considerada una operación fundamental. Operaban también con fracciones de numerador 1, casi exclusivamente, y habían construido tablas para la descomposición de una fracción en suma de fracciones unitarias. En esas tablas se encuentran transformadas en suma de unidades fraccionarias todas las fracciones de numerador 2 cuyos denominadores son los números impares comprendidos entre 5 y 99. Con ayuda de esas tablas podían transformar en suma de fracciones unitarias a aquellas cuyo numerador fuese distinto de 2. Así, por ejemplo:

5 = 1 + 1

6 2 3

No se indica en el papiro la manera como podía obtenerse la descomposición de una fracción en suma de fracciones unitarias y se cree que los resultados consignados en las mencionadas tablas fueron obtenidos experimentalmente. Para representar a los números los egipcios empleaban líneas verticales o dedos para señalar las unidades simples y otros símbolos que indicaban conjuntos múltiples: diez, cien, etc. en escala decimal.

La célebre civilización babilónica hace siglos que ha desaparecido, pero han dejado pruebas de sus trabajos en astronomía y aritmética, no en hojas de papiro o pergamino, sino en tablas de arcilla, en las que aparecieron impresos las letras y números con que trabajaban.

En Babilonia inventaron la escritura cuneiforme (en forma de cuña), una vez que fueron descifrados, fue posible saber que unos tres mil años antes de nuestra era, ellos utilizaban un sistema numérico en base 10 similar al egipcio, sino que también usaban la escala sexagesimal, por lo tanto se usaban las fracciones sexagecimales, es decir, de denominador constante igual a 60, 60² = 3600, ...

Era un sistema numérico evolucionado en el que se apoyaron sus observaciones astronómicas El método empleaba equivalencias sexagesimales, que aún se mantienen en la relación de horas, minutos y segundos de la medida usual de tiempos, en lugar de las decimales adoptadas en la posterior notación indo-arábiga que se impuso en todo el mundo. A partir de este esquema, los matemáticos babilónicos difundieron sus métodos y operaciones aritméticas (adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación, etc.) a las sociedades vecinas desde el segundo milenio aC. Y dejaron testimonio de su sabiduría en las civilizaciones griega y alejandrina

Aritméticos intrépidos y observadores hábiles, los babilonios buscaron y lograron obtener una representación de los movimientos celestes por medio de series numéricas. Ignorando la trigonometría, se sirvieron de la aritmética elemental (la única que conocían), y a pesar de los largos y penosos cálculos, llegaron a establecer para el Sol, la Luna, y algunos planetas, tablas que permitían predecir la posición de esos cuerpos celestes para una fecha dada, así como también los eclipses de Luna. Se limitaron a registrar los hechos observados en tablas y nunca se preguntaron el por que de las cosas como lo harían luego los griegos.

En las célebres tablas descubiertas en Senkreh que corresponden al período 2300- 1600 a.C., se encuentran los cuadrados de los números de 1 a 60 y los cubos de 1 a 30. Contiene también la resolución de problemas geométricos, como la determinación de la diagonal de un rectángulo de lados conocidos, lo cual prueba que las propiedades características del triángulo rectángulo eran conocidas, no sólo para el triángulo de lados 3, 4, 5, conocido por los egipcios, sino que, también para otros, y esto cerca de un milenio antes de nacer Pitágoras, a quien, se le atribuye el descubrimiento de esa propiedad.

La geometría babilónica que se dedicaba exclusivamente a la resolución de problemas fue luego perpetuada por los griegos.

Grecia:

De inspiración más filosófica y menos atentos a las mediciones del cielo y de la Tierra que sus antecesores mesopotémicos, los matemáticos griegos impulsaron decisivamente el desarrollo de esta ciencia y la dotaron de las primeras bases metodológicas que estructuraron y sistematizaron su estudio.

A comienzos del siglo VI aC, ninguna colonia griega se encontraba en situación más favorable que las jónicas de las costas del Egeo para servir de intermediarias entre la vieja cultura de Oriente y la que en ese momento pugnaba por surgir en Occidente. Sus colonos mantenían relaciones amistosas con las gentes de la Mesopotamia, donde, a pesar de la invasión persa, la luz de la ciencia de Nínive (antigua ciudad asiria) y Babilonia no se habían extinguido; por otra parte, sus comerciantes y marinos llegaban hasta Egipto, cuna del pensamiento científico. Entre los comerciantes que viajaron a esos dos países se encontraba Tales de Mileto (639-568), fundador de la escuela Jónica. En Egipto aprendió de los agrimensores Geometría, pero a diferencia de ellos que sólo veían casos aislados, Tales encontraba teoremas generales.

En los últimos tiempos de los jónicos el avance más importante fue debido a los pitagóricos. El fundador de la Escuela, Pitágoras de Samos (530 aC), es un personaje semilegendario: ni él ni sus discípulos inmediatos han dejado documento escrito alguno. Su célebre escuela de Crotona (tanto centro de investigaciones como hermandad política y religiosa) imponía silencio a los fieles. Con los escasos fragmentos que nos han llegado, es imposible distinguir lo que pertenece al maestro y lo que pertenece a sus discípulos. Los pitagóricos son los primeros en reconocer que toda ciencia consiste en buscar detrás del caos aparente de los fenómenos el orden de leyes constantes. Formularon el concepto de progresiones aritméticas y geométricas, y el de relaciones armónicas; descubrieron las magnitudes inconmensurables cuya relación conduce a números irracionales, es decir, los que no pueden ser expresados ni por números enteros ni por fracciones decimales; desarrollaron importantes teoremas sobre triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Utilizaban las letras de su alfabeto para representar a los números naturales, no escribían el numerador de una fracción cuando es 1, limitándose a escribir el denominador afectado de dos apéndices. Así como el 3 se representa por la letra g , un tercio, se escribe g ´´. Si el numerador no es 1 se lo escribe seguido de un ápice y a continuación el denominador afectado de dos ápices. Así por ejemplo escribían b ´ g ´´ para representar a dos tercios. La escritura numeral griega utilizó prefijos que se conservan en la actualidad: penta, cinco, deca,diez hecatón, cien, mirici, mil, etc.

El misticismo de los pitagóricos dio al número 10 (suma de los cuatro primeros números enteros) un lugar de privilegio en la estructura del Universo, y confiere a las relaciones numéricas (sobre todo las expresables por números enteros) la categoría de realidad fundamental en la Naturaleza.

Otro pensador de la época fue Demócrito (460-370 aC.) quien demostró que el volumen de la pirámide y del cono se podía expresar mediante la fórmula:

Sup. Base X altura

Tras un período de notables descubrimientos en los campos de la geometría y la aritmética y de la controvertidas polémicas, en el que abundaron matemáticos brillante como Hipócrates de Quíos y Diofanto de Alejendría, aparecieron hacia el año 300 a.C., las figuras de Euclides, Arquímedes y Apolonio que fueron los promotores de magníficos adelantos, así como también los geómetras y astrónomos, que entre los años 180 y 125 a.C., encontraron los principales fundamentos de la trigonometría rectilínea y esférica que dedujeron de la geometría y aplicaron a los problemas astronómicos.

Euclides fundó una escuela de Matemáticas en Alejandría. Su gloria póstuma convirtió su nombre en sinónimo de la Geometría. Los célebres "Elementos", se puede considerar como el coronamiento de las tendencias platónicas hacia la sistematización de la Geometría. Por su parte Arquímedes de Siracusa profundizó los conceptos de la Geometría y del Análisis Superior. La obra geométrica de Arquímedes fue completada por Apolonio de Perga, Eratóstenes de Cirene y Tolomeo.

Para algunos Hiparco, es el que debe ser considerado el verdadero creador de la trigonometría, pues sobre los fundamentos por el enunciados Tolomeo publicó en el primer libro "Almagesto", una tabla de funciones trigonométricas para ser usada en los cálculos astronómicos y la tabla de cuerdas, que refleja el valor de las cuerdas de un círculo en intervalos de medio grado.

Los griegos para resolver los triángulos rectángulos procedían así: calculaban los lados aplicando el teorema de Pitágoras, y los ángulos mediante el teorema de Tolomeo y la resolución de un triángulo cualquiera, la hacían descomponiendo los mismos en triángulos rectángulos.

No dieron ningún geómetra ni matemático importante en este período. Solo se contentaron con plantear especulaciones filosóficas en torno a los problemas de la ciencia griega.

Sin embargo, la notación usada por los romanos para representar a los números, se extendió por todo occidente como consecuencia de la preponderancia militar y económica de esta cultura. Como símbolos básicos utilizaban las letras I, uno, V, cinco, X, diez, L, cincuenta, D, quinientos, y M mil.

Utilizaron fracciones de denominador constante, el número 12, y daban nombres y símbolos distintos a un doceavo, dos doce avos, ...., once doce avos, un veinticuatro avos; un cuarenta y ocho avos; un setenta y dos avos; un ciento cuarenta avos ; y un doscientos ochenta y ocho avos. La razón del empleo de las fracciones duodecimales se debe al hecho de que utilizaban como unidad de peso al as que era una masa de cobre de una libra de peso y dicha unidad se dividía en 12 partes iguales denominadas uncia de donde deriva el nombre de onza y cada onza tiene 24 escrúpulos.

Esta época es la que se conoce como la decadencia del saber. En su crepúsculo, el siglo V asiste al dramático fin del Imperio de Occidente, con la invasión de los bárbaros, desciende sobre Europa una larga noche de estancamiento y decadencia de todas las ramas del saber. Las Matemáticas quedan dentro de los límites de las aritméticas elementales, seguidas de especulaciones neoplatónicas sobre las propiedades místicas de los números. Algunas definiciones de triángulos, cuadriláteros, círculos y sólidos constituyen todo el caudal de los conocimientos de lo que antes fuera la Geometría. Así era la imagen general que nos ofrece del saber la Edad Media.

Mientras que en Europa ocurría esto, los árabes que venían haciendo grandes esfuerzos desde el siglo VIII para apropiarse del saber griego ven el momento oportuno para hacerlo y enriquecer ese patrimonio. Los califas otorgaron protección a las ciencias con el fin de acelerar el proceso de asimilación. Al Mamun, que reinó en Bagdad entre los años 813 y 833, creó una escuela de traductores con el fin de traducir una colección de obras griegas al árabe. Estos escritos griegos no fueron los únicos que alimentaron la ciencia árabe Mohamed Ben Musa Al-Kwarizmi más conocido con el nombre de ALCARISHI quien (en el año 820), escribió un importante tratado matemático llamado "Algeber u Almucabala", que sirvieron de inspiración a muchas de las Álgebras medievales, y que por su intermedio fue introducido en occidente el sistema de numeración decimal indo-árabe que actualmente usamos. Su obra fue luego traducida al latín y se transformó en el primer libro de Algebra. El nombre de Al-Khwarizmi se convirtió en algoritmo, que se utiliza actualmente para designar a toda combinación de operaciones con números que dan origen a un nuevo número.

Los principales aportes de la astronomía indo-arábiga fueron algunos descubrimientos en el campo de la trigonometría y el sistema de numeración decimal que empleaba diez dígitos y en los que por primera vez se incluía el cero, repetidos cíclicamente en una combinación ordenada cuya sencillez y utilidad permitió divulgarlo por el mundo y lo ha convertido en el sistema universal.

Para el cálculo de valores trigonométricos, fracciones, raíces, etc., emplearon la técnica de las tablas.

Omar Khayyam alrededor del 1100 escribe un tratado de álgebra en lenguaje árabe.